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Vierter Abschnitt. Anwendung der Integral-Rechnung. 218 
bestimmt; auf Grund dessen und der Transformationsgleicbungen 
x = r sin 0 COS Cp 
y = r sin 0 sin cp 
z — r cos 0 
können x, y, z als Functionen von betrachtet werden, und 
es ist 
x'(cp) = a cos 0 COS • 0 X — a sin 0 sin cp 
y'{(p) = a cos 0 sin cp • 0' -J- a sin 0 cos cp 
8 (cp) = — a sin 0 • 0'; 
daraus folgt 
x{cpf -f- y\cp) 2 -j- z\cpy = a 2 0' 2 -f- a 2 sin 2 0 
und vermöge (5) 
(6) 
]/0' 2 -f- sin 2 0 • dcp; 
0' ist der Differentialquotient von 0 in Bezug auf cp, und a, ß 
sind die den Endpunkten des Bogens zugehörigen Werte 
von cp. 
Die Elemente der Integrale (1), (2), (3), (5) sind schon 
an andern Stellen (148, 149, 167) als Bogendifferentiale ab 
geleitet, definirt und geometrisch gedeutet worden, 
284. Beispiele. 1) Bectification der Parabel. Bei geeig 
neter Wahl des Coordinatensystems ist 
x* = 2py 
die Gleichung der Parabel; aus ihr folgt «/ = —, und laut 
(1) ist P 
x Ix 
f V 1 +p dx= tJVm 1 
u 2 du 
die Länge des im Scheitel beginnenden Bogens, dessen End 
punkt die Abscisse x hat; die zweite Form geht aus der ersten 
durch die Substitution 
= u 
hervor.