216 Zweiter Theil. Integral-Rechnung. 
so kann das Bogendifferential in einer der beiden Formen 
(A) 
ds = Ya 2 cos 2 <p -f- b 2 sin 2 cp dcp, 
(B) ds — Ya 2 — (a 2 — 6 2 ) sin 2 cp dcp = «1/1 — e 2 sin 2 cp dcp 
dargestellt werden; behält man die zweite Form bei, so ist der 
vom Scheitel (0/6) der kleinen Axe bis zum Punkte M 
reichende Bogen durch 
o 
gegeben; seine Bestimmung hängt also von einem elliptischen 
Integrale zweiter Gattung ab, dessen Modul der relativen Ex 
entwicklung eines solchen Integrals ist in 266, 7) vorgenom 
men worden. Insbesondere hat man nach den dortigen Ent 
wicklungen für den Ellipsenquadranten den Ausdruck 
7t 
(C) 
o 
Da 
6 < Y cos2 -f- 6 2 sin 2 cp<a 
wie man sich überzeugt, wenn man unter der Wurzel einmal 
a durch 6, ein zweitesmal 6 durch a ersetzt, so ist auch 
2 n 
0 
vermöge der Form (A) drückt aber das Integral den Umfang 
E der Ellipse aus; derselbe liegt also, wie es auch der Augen 
schein lehrt, zwischen den Umfängen des eingeschriebenen und 
umgeschriebenen Kreises. 
Wir stellen nun die Frage auf, wie sich E zu dem arith 
metischen Mittel st (a -f- 6) dieser beiden Umfänge verhält. 
Da 3t (a -f- 6) durch Integration von a cos 2 cp -(- 6 sin 2 auf 
dem Intervalle (0, 23t) entsteht, so bilden wir