Vierter Abschnitt. Anwendung der Integral-Rechnung. 221 
wobei u— QRTM 1 SQ, das des zweiten durch 
b 
a 
wobei u % — QHTM 2 SQ, ausdrücken, und erhält dann für das 
Volumen des yorgelegten Körpers den Ausdruck 
b 
a 
da aber u x — u 2 = u die Fläche des Querschnittes SM X TM % 
darstellt, so kann auch 
b 
a 
geschrieben werden. Die Formel (2) ist hiermit als allgemein 
gütig erwiesen. Das Volumen erscheint nun als Grenzwert 
der Summe von Cylindern parallel der x-Axe, welche Quer 
schnitte u parallel zur yz-Ebene zu Grundflächen und deren 
Abstände zu Höhen haben. 
Die Formeln (2), (4) kommen zur Anwendung, wenn der 
Querschnitt u eine Figur von bekanntem Flächeninhalte ist; 
in den andern Fällen treten die Formeln (1), (3) in Kraft. 
Bei Ausführung der Integrale wird selbstverständlich von all’ 
den entwickelten Hilfsmitteln entsprechender Gebrauch zu 
machen sein. 
Der hier erörterte Fall, wo die Cubatur durch ein ein 
faches Integral geleistet wird, ist nicht der einzige dieser Art; 
immer, wenn es gelingt, den Körper in unendlich kleine Elemente 
der ersten Ordnung zu zerlegen, deren analytischer Ausdruck 
sich angeben lässt, kommt es auf eine einmalige Integration an. 
Unter Umständen kann es sich empfehlen, den Körper in 
unendlich kleine Elemente von der dritten Ordnung zu zerlegen 
und sein Volumen zunächst durch ein dreifaches Integral dar 
zustellen, das sich über den Raum 11 des Körpers ausdehnt. 
Bei rechtwinkligen Coordinaten ist dann (278) 
(5) v —fff dx dy dz 
R 
und bei räumlichen Polarcoordinaten