Vierter Abschnitt. Anwendung der Integral-Rechnung. 
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4) Der Körper, welcher aus der Kugel 
x 2 -f- if -f- g 2 = a 2 
ax 
durch den Cylinder 
x 2 -f- y 2 
ausgeschnitten wird ; zerfällt durch die gx- und a?y-Ebene in vier 
gleiche Theile; sein Volumen, in rechtwinkligen Coordinaten dar 
gestellt, hat (Fig. 144) den Ausdruck 
a y<ix — x 2 
v = 4 f dx I ~l/a 2 — x 2 — y 2 dy. 
Fig. 144. 
0 0 
Bequemer als in dieser Form wird 
die Ausrechnung in semipolaren 
Coordinaten, indem dann 
z 
c 
M \ 
q/ 
i ffy 
a 2 — r 2 rdrdcp, 
ausgedehnt über den Halbkreis OANO. Integrirt man hei 
festem cp zuerst nach r, so sind 0 und ON = a cos cp die 
Grenzen; darnach ist in Bezug auf cp von 0 bis ~ zu inte- 
griren. Man hat daher 
a cos (p 
4 / dcp I y a 2 — r 2 • rdr 
o ö 
7t 
Y 
%■ f | (a 2 — r 2 ) 2 } dcp = ~ C(1—sin * cp) dcp 
> a cos (p ^ J 
0 0 
V -1) • 
4 a 
3 
Von der Halbkugel, welcher der Körper entnommen ist, 
verbleibt also als Rest ein Körper von dem rationalen Volu- 
8 3 
men — a ö . 
288. Beispiel einer Cubatur durch ein dreifaches Integral. 
Es ist das Volumen des von den vier Ebenen