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Zweiter Theil. Integral-Rechnung. 
Fig. 152, 
§ 4. Quadratur krummer Flächen. 
289. Die allgemeinste Aufgabe, welche sich hier dar 
bietet, besteht in Folgendem. Von einer krummen Fläche 
(!) * = f(%, V) 
ist der durch eine geschlossene Curve F, Fig. 152, begrenzte 
Theil S seiner Grösse nach zu bestimmen. 
Aber es bedarf erst einer 
Erklärung, was unter der Grösse 
dieser Fläche, die wir auch mit 
S bezeichnen wollen, analytisch 
zu verstehen sei. 
Zum Zwecke der Aufstel 
lung dieser Definition projiciren 
x wir S mit seiner Randcurve F 
auf die xy-Ebene und erhalten 
die Figur P mit dem Rande C. 
Nun theilen wir P durch zwei 
Systeme von Parallelen zu OY und OX in Elemente; ein 
solches Element ayßö sei durch die Theilungslinien x%k~2, 
Xzk’i y^i—2 ; y%i bestimmt, seine Fläche ist 
¿dP = (X2k ^2* — 2)(2/2 l y%l — 2)- 
Zu einem beliebig innerhalb A P angenommenen Punkte 
x%k—1 /2/2 / 1 gehört ein Punkt auf der Fläche, und die Tan 
gentialebene in diesem Punkte ist zur xy-Ebene unter einem 
Winkel (y) geneigt, dessen Cosinus (197, (5)) 
l 
cos (y) = 
vu Xik—1, yzi—l) 2 + fy(&%k—1 , 2/2/—l) 2 + 1 
ist. Diese Tangentialebene schneidet aus dem über ayßö 
errichteten, zur ir//-Ebene senkrechten Prisma ein Parallelo 
gramm aus, dessen Fläche 
JP 
cos (y) 
= (#2k #2* —2)(^2/ — ?/2/—2) x 
VC (#2* + l? 2/2/—1 Y 4" fyiß'Sk— 1; 2/2/ —1) 2 + 1 
gleichkommt. Die Doppelsumme dieser Parallelogramme 
dP 
cos (y) ’