Vierter Abschnitt. Anwendung der Integral-Rechnung. 235 
ausgedehnt über alle Elemente von P, convergirt aber zufolge 
des in 272 bewiesenen Satzes, wenn alle Differenzen x 2 k—#2*—2, 
y 2l — y-n—i gegen Null abnehmen, gegen eine von der Wahl 
der Punkte x^k—i/y-n—x unabhängige Grenze, nämlich gegen 
den Wert des Doppelintegrals 
ffm*. yf + fy( x , yf + 1 dxdy. 
*" p 
Diese Grenze soll nun die analytische Definition für die Grösse 
von S bilden, so dass wir mit den üblichen Abkürzungen 
y) = % =P, /y>, y) = ~ = q 
die Grundformel erhalten 
(2) S = fj ]/V -J- q 2 -f- 1 dx dy. 
c p 
Dieselbe kann durch Transformation der Yariabeln andern 
Coordinatensystemen angepasst werden. Um dies gleich all 
gemein auszuführen, mögen an Stelle von x, y zwei neue 
Variable u, v durch die Gleichungen 
ix = <p(u,v) 
\y = ^0, v) 
eingeführt werden; infolge von (1) wird auch 0 eine Function 
derselben werden 
z = x{u, v). 
Aus der letzten dieser Gleichungen ergibt sich 
dz dx . dy 
dh^Vdd + Vdh 
dx 
du ’ 
dy dx dy 
du’ dv ’ dv 
dz 
dv 
dx . 
Pii + i 
dy. 
dv 5 
sind aus den beiden ersten Gleichungen zu 
entnehmen. Bedient man sich bei Auflösung dieser Gleichungen 
in Bezug auf j), q für die auftretenden Functionaldeterminan- 
ten der in 275 erwähnten Donkin’sehen Bezeichnung, wor- 
nach z. B. 
dx d y 
du du 
dx dy 
dv dv 
djx, y) 
d{u, v) ’ 
u. s. w..