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Zweiter Theil. Integral-Rechnung. 
Die beiden behandelten Fälle sind nicht die einzigen, wo 
zur Quadrirung einer krummen Fläche eine Integration aus 
reicht; dies tritt immer ein, wenn sich die Fläche in Elemente 
zerlegen lässt, deren analytischer Ausdruck von der ersten 
Kleinheitsordnung ist. 
x i 
Anmerkung. Das Integral J*yds in (14) hat die Be- 
x 0 
deutung des statischen Momentes des Bogens M 0 M 1 bezüglich 
der x-Axe, kommt also auch gleich dem Producte Ys aus der 
Ordinate Y des Schwerpunktes 2J dieses Bogens und der Länge 
s desselben. Man hat demnach auch 
(15) S = 2 Fs. 
Darin spricht sich ein Analogon der Gu Id in’sehen Regel (286,4)) 
aus; es ist nämlich die von dem Bogen s beschriebene Zone dem 
Mantel eines geraden Cylinders vom Basisumfange s und der 
Höhe 2nYgleich, welch’ letztere dem vom Schwerpunkte des Bogens 
beschriebenen Kreise gleichkommt. 
291. Beispiele von Quadraturen mittels einfacher Integrale. 
1) Quadratur des Botationsparaboloids. Rotirt die Parabel 
y 2 = 2px 
um die x-Axe, so beschreibt der im Scheitel beginnende und 
bei dem Punkte mit der Abscisse x schliessende Bogen eine 
Calotte von der Grösse (14) 
X 
0 
= + P 3 ] • 
2) Quadratur der Rotationsellipsoide. Die Ellipse 
5 + |J=l («>*) 
beschreibt bei der Drehung um die x-Axe ein oblonges, bei 
der Drehung um die y-Axe ein abgeplattetes Ellipsoid; es sollen 
ihre Gesammtoberflächen bestimmt werden.