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Fünfter Abschnitt. Differentialgleichungen. 
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Angenommen, dass die Gleichung (1) in Bezug auf y 
algebraisch und vom ersten Grade ist, so liefert sie zu jeder 
Wertverbindung xfy einen Wert von y, bestimmt also so 
viele Linienelemente, als es Punkte in der Ebene gibt; mit 
andern Worten, sie defmirt ein zweifach unendliches System 
von Linienelementen. Die Gleichung lösen wird also nach 
dem Yorausgehenden dabin zu deuten sein, die durch sie defi- 
nirten Linienelemente auf alle möglichen Arten in einfach un 
endliche Scharen ordnen derart, dass die Funkte eine Curve und 
die Geraden die Tangenten dieser Curve in den zugeordneten 
Funkten bilden. 
Weil, wie die Folge lehren wird, die Lösung einer Diffe 
rentialgleichung im Allgemeinen die Ausführung von Integra 
tionen erfordert, so gebraucht man den Ausdruck „Integration 
einer Differentialgleichung“ im Sinne ihrer Lösung und nennt 
jede Function y von x oder jede Gleichung zwischen x, y, 
welche der Gleichung (1) genügt, ein Integral derselben. 
303. Betrachtet man in der Differentialgleichung 
(1) f{x, y, y) = 0 
y als constant, so stellt sie eine Curve dar; 
diese verbindet die Punkte von Linienele 
menten gleicher, durch den besonderen Wert 
von y gekennzeichneter Richtung, Fig. 162. 
Lässt man y alle Werte durchlaufen, deren 
es vermöge (1) fähig ist, so beschreibt die 
Curve ein einfaches unendliches Curvensystem. 
Yon diesem Curvensystem ausgehend kann man eine 
Lösung der Gleichung (1) wie folgt sich construirt denken. 
Es sei 
yo } Vl ) y% } • • • Vi } yi-\-1; • • • 
eine Reihe in kleinen Intervallen fortschreitender Werte von 
i/'; die ihnen entsprechenden Curven seien 
(yo'), (yi), (yd,■■■ (yi), 040>• • •, 
Fig. 163. Yon einem beliebigen Punkte M 0 der Curve (yf) 
ausgehend lege man durch denselben ein Linienelement der 
Richtung ?/ 0 '; durch den Punkt M xt in welchem die Gerade 
Fig. 162. 
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