4) Die Curven mit constanter Subnormale a) im recht
winkligen, b) im polaren Systeme zu bestimmen.
a) Aus der bezüglichen Differentialgleichung
d y
y/x = a
ergibt sich
iß = 2ax -j- C.
b) Im andern Falle ist
= a
die Differentialgleichung und
r = ay -\- G
die Gleichung der Curven selbst.
Die erste Eigenschaft kommt also congruenten zur x-Axe
symmetrischen Parabeln, die zweite archimedischen Spiralen zu.
5) Um die Differentialgleichung
(1 -j- xy)ydx + (1 — xy)xdy = 0,
bei welcher die Trennung der Yariabeln unmittelbar nicht
vollzogen werden kann, zu integriren, führe man an Stelle
von x, y neue Variable z, u wie folgt ein:
xy — z
daraus ergibt sich
x
— = u :
V
xdy -j- ydx = dz
ydx — xdy = iß du
= - du
u
und die Gleichung lautet nunmehr
dz -f- — du = 0;
hier lassen sich die Yariabeln trennen und die Integration gibt
lu -— l, C = — •
z ’
kehrt man zu den ursprünglichen Yariabeln zurück, so ist
das allgemeine Integral.
x= Cye
Fünfter Abschnitt. Differentialgleichungen. 281