Fünfter Abschnitt. Differentialgleichungen. 
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und daraus schliesst man, dass 
yy- cf Mdx . dY 
~~dy V ~dy’ 
woraus 
mithin ist 
u=JMdx +JNdy dy. 
Wäre man von Ndy als dem partiellen Differentiale nach 
y ausgegangen, so hätte sich ergehen 
u=JMdx + f*Ndy dx. 
Die Übereinstimmung der differirenden Theile ist eine 
Folge der Bedingung (3); denn es ist 
Cd f Mdx j ffdM „ 7 
J^- d v=JJw dxd ’J> 
ß £ S 2 --ffS“^ 
Das Integral von (1) kann also in einer der Gestalten 
JMdx +JNdy —J d /Mdx dy==G 
JMdx +JNdy —J 8 -f x dy dx=G 
geschrieben werden. 
311. Beispiele. 1) Die Differentialgleichung 
x{x -f- 2y)dx -f- (x 2 — y 2 )dy = 0 
ist exact, weil 
d{x{x + 2i/)] _ 0/>i _ d(x 2 — y 2 ) 
r\ tlj ~~~~~ r\ * 
cy CX 
Nun ist 
Jx(x + 2y)dx = y -f- x 2 y 
J(a 2 — y*)dy = x 2 y—^- 
cfx{x + 2y)dx = 
dy 
f~" ty iy) ~ dy = x*y >