Zweiter Theil. Integral-Rechnung. 
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demnach 
Y -f x 2 y — = const. 
oder 
x 3 -f- 3x 2 y — y 3 = C 
das allgemeine Integral. 
2) Die Gleichung 
x(x 2 -f- 3y 2 )dx -f- y{y 2 -(- 3x 2 )dy — 0 
erfüllt gleichfalls die Bedingung einer exacten Differential 
gleichung. Sondert man Glieder von der Form Xdx, Ydy, 
die exacte Differentiale sind, ab, so muss dann nothwendig 
der erübrigende Theil die Bedingung wieder erfüllen; in der 
That ist dies bei 
x 3 dx -j- y 3 dy -f- 3(xy 2 dx -j- x 2 ydy) = 0 
der Fall. Und da man hier die Function, von welcher 
xy 2 dx -f- x 2 ydy das Differential ist, unmittelbar erkennt — es 
ist dies Y^V, — sc > kann man das allgemeine Integral so 
fort hinstellen: 
x* + V* I 3 2 2 i 
——■—|- y x y = const. 
oder 
x k + 2/ 4 + 6# 2 «/ 2 = C. 
312. Wenn die Differentialgleichung 
(1) Mdx -f- Ndy = 0 
dN 
— -ö— nicht erfüllt, so muss doch ihr all 
da? } 
gemeines Integral, dem man die Gestalt 
(2) u = C 
die Bedingung 
geben kann, so beschaffen sein, dass die Gleichung 
(3) d £dx + d ^dy = 0 
mit (1) dem Wesen nach übereinstimmt, d. h. dass beide für 
jede Wortverbindung x/y denselben Wert für ^ ergeben, 
also ein und dasselbe System von Linienelementen definiren. 
Dies ist nur dann der Fall, wenn die linke Seite in (3) sich 
von der linken Seite in (1) nur um einen nicht identisch, d. h.