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Zweiter Theil. Integral -Rechnung. 
Es stellt sich hiernach die Einhüllende als ein Ort von 
Punkten dar, für welche die Differentialgleichung (6) oder 
allgemein 
( 7 ) f(%, y, y) = 0 
zwei gleiche Lösungen nach y ergibt. Ihre Gleichung erhält 
man also bei (6) durch Nullsetzung von M 2 — LN, allgemein 
durch Elimination von y zwischen (7) und der Gleichung 
(8) 
Aber das Resultat 
Fig. 177. 
(9) cp{x,y) = 0 
dieser Elimination bedeutet allgemein den Ort von Punkten, 
in welchen zwei von den durch (7) definirten Linienelementen 
zusammenfallen. Dies trifft nicht allein in den Punkten der 
Einhüllenden zu, sondern auch dort, wo die Integralcurven 
Spitzen aufweisen, und dort, wo sich zwei derselben berühren. 
Es kann demnach die Gleichung (9) oder eine aus ihr 
hervorgehende Theilgleichung auch den Ort von Spitzen der 
Integralcurven (Fig. 175) oder den Ort 
von Contacten dieser Curven, Fig. 177, 
vorstellen, und in beiden genannten Fällen 
genügt sie der Differentialgleichung im 
Allgemeinen nicht, bildet also keine Lö 
sung derselben. 
Eine etwa vorhandene singuläre Lö 
sung lässt sich also sowohl aus dem all 
gemeinen Integrale wie aus der Differentialgleichung selbst 
ableiten, dort durch Bildung der Discriminante in Bezug G, 
hier durch Bildung der Discriminante nach y. In beiden 
Fällen aber muss das gefundene Resultat oder seine einzelnen 
Theile (hervorgegangen aus den Factoren der Discriminante) 
darauf geprüft werden, ob durch sie der Differentialgleichung 
genügt wird. Trifft dies nicht zu, dann hat man es mit 
einem Orte von Knoten oder Spitzen im ersten, mit einem 
Orte von Spitzen oder Contacten im zweiten Falle zu thun. 
Liegt insbesondere eine Differentialgleichung zweiten Gra 
des vor: 
Ly' 2 -f- 2 My JV = 0