Fünfter Abschnitt. Differentialgleichungen. 
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und ist 
PC 2 + 2QC + R = 0 
ihr allgemeines Integral, so müssen, soll eine singuläre Lösung 
vorhanden sein, M 2 — LN und Q 2 — Fll einen gemeinsamen 
Factor haben. Ein solcher kann jedoch auch einem Orte von 
Spitzen entsprechen. Ein nicht gemeinsamer Factor, wenn er 
M 2 — LN angehört, wird einen Ort von Knotenpunkten be 
deuten, und einen Ort von Contacten, wenn er in Q 2 — FR 
allein vorkommt. 
Ändert M 2 — LN, indem es durch Null geht, sein Zeichen, 
so wird durch M 2 — LN = 0 entweder eine singuläre Lösung 
oder ein Spitzenort bestimmt sein. Behält dagegen Q 2 — FR 
immer das positive Zeichen bei, so ist M 2 — LN = 0 in der 
Regel ein Contactort. 
Was von M 2 — LN gesagt worden, gilt auch von einem 
Factor der Discriminante. 
325. Beispiele. 1) Die endliche Gleichung 
(a) (x — cf -f- y 2 = r 2 , 
welche bei veränderlichem c eine (längs der x-Axe verschieb 
bare) Reihe gleicher Kreise, Fig. 178, darstellt, führt, wenn 
man e zwischen ihr und 
x — c -j- yy — 0 
eliminirt, zu der Differentialglei 
chung 
Cß) y 8 (i + y' 2 ) = r 2 . 
Nach c, y geordnet heissen die Gleichungen 
c 2 — 2xc -j— x 2 -f- y 2 — r 2 = 0, 
y 2 y 2 + y 2 — r 2 = 0j 
die Discriminante der ersten ist r 2 — y 2 , die der zweiten 
y 2 (f — y 2 ). 
Der gemeinsame Factor r 2 — y 2 führt zu den beiden sin 
gulären Lösungen 
y — — r y y = r, 
die in der That der Differentialgleichung (ß) genügen, weil 
sie y = 0 zur Folge haben.