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Fünfter Abschnitt. Differentialgleichungen. 
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einfach unendlichen Curvensystems. Man versteht darunter 
die Gesammtheit aller Linien, welche die gegebenen Curven 
unter einem festen Winkel schneiden. Ist dieser Winkel ein 
rechter, so spricht man von orthogonalen Trajectorien. 
Zunächst sei das gegebene Curvensystem auf rechtwinklige 
Coordinaten bezogen und 
(1) F{x, y,c) — 0 
seine Gleichung, 
(2) f(%, V, V) = 0 
die daraus durch Elimination von c abgeleitete Differential 
gleichung. Dann ist sofort 
( 3 ) 'f{ x > y, — 7) = 0 
die Differentialgleichung der orthogonalen Trajectorien; denn 
aus (2) und (3) ergeben sich bei gegebenem x/y für y Lö 
sungen, deren eine das negative Reciprok der andern ist; folg 
lich schneidet die durch x/y gehende Curve des Systems (3) 
die durch denselben Punkt laufende Curve des Systems (2) 
oder (1) rechtwinklig. 
Handelt es sich um isogonale Trajectorien unter dem 
schiefen Winkel ff, und bezeichnet man den Richtungscoeffi- 
cienten der Tangente an die Trajectorie mit —^ zum Unter 
schiede von jenem der gegebenen Curve, der y heisst, dann 
muss 
i + pL,/ 
' clx J 
— tg ff = h 
sein, woraus 
y = 
dy _ 7. 
dx 
1 + Ä 
, dy ’ 
dx 
dy 
setzt man dies in (2) ein und schreibt wieder y für , 
ergibt sich 
so 
(4) 
f[x, 
y, 
0 
1 Jcy 
als Differentialgleichung der Trajectorien unter dem Winkel 
arctg Ti. 
mm