Fünfter Abschnitt. Differentialgleichungen. 
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lässt sich das vorhin erörterte Verfahren nicht unmittelbar 
an wen den. Erweitert man aber die drei Verhältnisse mit den 
Zahlen a, ß, y und bildet die Summe der Zähler und der 
Nenner, so entsteht ein neues den früheren gleiches Verhältnis; 
da jedoch der Nenner desselben = 0 ist, muss es der Zähler 
auch sein; aus 
adx -f- ßdy -f- ydz = 0 
folgt aber 
(A) ax -f- ßy -f- yz — a. 
In gleicher Weise findet man, die drei Verhältnisse mit 
den Zahlen x, y, z erweiternd, dass 
xdx -j- ydy -f- zdz = 0 
sein müsse, woraus 
(B) x* + y 2 -f- z 2 = b 
folgt. 
Das erste Integral (A), für sich betrachtet, stellt ein 
System paralleler Ebenen dar, das zweite (B) eine Schar con- 
centrischer Kugeln um den Ursprung. Die Integralcurven 
obiger Differentialgleichungen sind sonach alle Kreise, welche 
um die Gerade — = = — als Axe beschrieben sind. 
a ß y 
3) Um die Differentialgleichungen 
dx dy dz 
x % —y 2 — z 2 2 xy 2 xz 
zu integriren, verbinde man zunächst die beiden letzten Ver 
hältnisse zu der Gleichung 
dy dz 
y z ’ 
welche das Integral 
(cc) z = ay 
ergibt. Erweitert man die drei Verhältnisse durch x, y, z 
und bildet die Summen der Zähler und Nenner, so entsteht 
das neue den früheren gleiche Verhältnis 
xdx -(- ydy -f- zdz 
x{x 2 -j- 2/ 2 + z*) ’