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Zweiter Theil. Integral-Rechnung. 
Die Bestimmung von y erfordert also n successive Quadra 
turen, und dem Resultate derselben ist eine ganze Function 
n—1-ten Grades mit willkürlichen Coefficienten additiv an- 
zuschliessen. 
So erhält man beispielsweise in Anwendung dieses Ver 
fahrens auf 
d 3 y 
dx 3 
= X sm X 
nach und nach 
J*x sin x dx — — x cos x-\- sin X 
j^dxfx sin x dx = — x sin x — 2 cos x 
j*dx j^dxj^x sin xdx — x cosx — 3sin£, 
daher ist 
y = xaosx — Ssin# -(- ax2 + hx -f- c 
das allgemeine Integral obiger Gleichung. 
333. Wir wenden uns jetzt der näheren Betrachtung einer 
Differentialgleichung zweiter Ordnung. 
(1) 
f(x y d JL ( li) = 0 
' \ X ’ dx’ dxV 
zu. Das allgemeine Integral einer solchen 
(2) Fix, y, c 1; c 2 ) = 0 
stellt ein zweifach unendliches System von Curven dar. 
Umgekehrt führt eine endliche Gleichung von der Form 
(2) auf eine Differentialgleichung zweiter Ordnung, und zwar 
durch Elimination der Parameter c x , c 2 aus (2) mit Hilfe der 
beiden Gleichungen 
(3) 
W 
dF dF dy q 
dx ' dy dx ’ 
(PF 9 dPF_ dy , d*F (dy\ 2 , ^ = a 
dec 2 ' dxdy dx ' dy 2 \dx) ' dy dx 2 
Die Differentialgleichung (1) drückt eine allen Curven 
des Systems (2) gemeinsame Eigenschaft aus, zunächst in ana 
lytischer Form; man kann dieselbe aber auch geometrisch 
interpretiren, wenn man in (1) ^ mit Hilfe des Krümmungs 
halbmessers