Fünfter Abschnitt. Differentialgleichungen. 
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dx 
ansdrückt; es geht dadurch (1) über in eine Gleichung von 
der Zusammensetzung 
(!*) <p{ x 7 V> %7 9) = °; 
dadurch ist aber für jeden Punkt x/y der Ebene eine Be 
ziehung zwischen Tangentenrichtung und Krümmungshalbmesser 
der durch ihn gehenden Curyen des Systems (2) ausgesprochen. 
Kehren wir nochmals zu der oben besprochenen Elimi 
nation von c 1 , c 2 aus (2) zurück. Man kann, blos unter Zu 
ziehung der Gleichung (3), einen der Parameter ausscheiden; 
eliminirt man c 2 , so entsteht eine Differentialgleichung erster 
Ordnung 
(&) *1 (», y, »I, 5i) - 0, 
welche die Curven mit constantem c 1 charakterisirt; eliminirt 
man hingegen c 1} so ergibt sich eine Differentialgleichung 
erster Ordnung 
(6) ^2 {x, V, Ca, = 0, 
durch welche die Curven mit constantem c 2 gekennzeichnet sind. 
Jede der Gleichungen (5), (6) heisst in Bezug auf die 
Differentialgleichung (1) ein erstes Integral, weil der Übergang 
von (1) zu (5) oder (6) im Allgemeinen einmalige Integration 
erfordert. Wären zwei erste Integrale wie (5) und (6) auf 
irgend welchem Wege gefunden, so ergäbe sich aus denselben 
das endgiltige Integral durch einen blossen Eliminationsprocess, 
nämlich durch Ausscheidung von 
Zur Erläuterung dieser Ausführungen diene folgendes Beispiel. 
Die endliche Gleichung 
0) Ax 2 + By 2 = 1 
mit den willkürlichen Constanten A, B stellt das zweifach 
unendliche System aller coaxialen Centralkegelschnitte vor. 
Verbindet man sie mit