Fünfter Abschnitt. Differentialgleichungen. 
345 
n-ten Ableitung eindeutig bestimmt. Erfährt nun x 0 einen 
Zuwachs dx 0 , so ändern sich y (0 ), y'^, . . , y[o~ x) der Reihe um 
dy { o) = y[o)dx 0 , dy[o) = y[o)dx 0 , . .. dy%~ 1] = y^dxo 
und gehen in die neuen, zu x 0 + dx 0 = x 1 gehörigen Werte 
,. i 2/(i) = 2/(0) + dy m 
12/(i) = 2/W + dy[o), . . . ?/(i) = 2/(o) 1] + dy[o~ 1] 
über. Zu diesen ergibt sich aus (2) abermals ein und nur 
ein bestimmter Wert 2/(1) für y^ n \ und für einen weiteren Zu 
wachs dx x der unabhängigen Variabeln berechnen sich die 
Änderungen der Werte (4), nämlich 
dyn) = y[i)dxx, dy' {1) = y'(\)dxx,. . . dy%~ 1] = yfädxx, 
und hiermit die zu x ± -f- dx x = x% gehörigen Werte 
2/(2) = 2/d) + dy^) 
2/(2) = 2/(1) + dy[x)2/(2) 1} = 2/(i) 1] + dy[l) x) 
u. s. f. 
Hiernach lässt sich, indem man von 
X = Xo, 2/(0); 2/(0) ; • • • 2/(0) 1} 
ausgeht, eine in beliebig engen Intervallen von x fortschrei 
tende Folge von zusammengehörigen Werten 
0*0, 2/(0)), Oi; 2/d)), O2; 2/(2)), • • ■ 
d. h. ein Integral der Gleichung (2) construiren. 
Dieses Integral muss nun in dem allgemeinen Integrale 
(3) mit enthalten sein, mithin müssen sich die Parameter 
c x , c 2 , . . . c n so bestimmen lassen, dass zu x = x 0 die Werte 
2/(0), 2/(0), • • • 2/(0) 1) gehören; die zu dieser Bestimmung führen 
den Gleichungen 
2/(0) = C 1 (2/1)0 -f- 02(2/2)0 + • • • + C n(yn)o 
2/(0) = Ci (2/1)0 + 02(2/2)0 + • • • -f- c n (y n )o 
2/(0) ) — Cl(2/l J )o + c 2(2/2 ”*)o ~f - * * * CnijJ^n X) )o 
ergeben aber nur dann wirklich eine bestimmte Lösung, wenn 
die Determinante