Fünfter Abschnitt. Differentialgleichungen. 
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339. Die Kenntnis eines particulären Integrals einer homo 
genen Differentialgleichung ermöglicht es, die Ordnung der 
Gleichung um eine Einheit zu erniedrigen, ohne ihren linearen 
Charakter aufzuheben. 
Es sei nämlich y x ein Integral der Gleichung 
(1) 
ihr allgemeines Integral kann dann immer in der Form 
(2) 
angenommen werden, wenn unter z eine erst zu bestimmende 
Function yon x verstanden wird. Behufs Ermittelung der 
selben ist nur nöthig auszudrücken, dass (1) durch (2) befrie 
digt werde. Nun hat man neben 
} f eAx +Ci) 
y{n) = yM 
,(«—!) 
(n — 2) r | | (n — 1) 
y\ 'H h yi# ; 
multiplicirt man diese Gleichungen der Reihe nach mit p n , 
p n —i, p n —2, ■ • ■ Po und bildet ihre Summe, so verschwindet 
in dieser nicht allein die linke Seite, weil (1) erfüllt werden 
behaftete Glied der 
muss, sondern 
rechten Seite, weil y x ein Integral von (1) ist; die Coefficienten 
von z, z ,. . . 0 { - n ~ 15 werden bekannte Functionen von x, die 
der Reihe nach mit q n —i, q n —2,---qo bezeichnet werden 
mögen. Mithin hängt die Bestimmung des z ab von der Gleichung 
(3) g 0 ^ _1) + 2i2 (k - 2) + f- q n -i0 = 0; 
dies aber ist eine homogene lineare Differentialgleichung, deren 
allgemeines Integral die Form z = c 2 y 2 -{- c 3 y 3 -f- • • • -{- c n y n 
hat. Setzt man dasselbe, nachdem es gefunden worden, in (2) 
ein, so ergibt sich das allgemeine Integral von (1) wieder in 
der bekannten Form 
V == GVi + CaVi f V2 dx + c 3 y x py 3 dx f- c n y l j*y n dx.