Fünfter Abschnitt. Differentialgleichungen. 
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demnach ist das allgemeine Integral von (7) 
y — c x e x -f- c 2 (# 3 + 3# 2 -j- 6% -J- 6). 
340. Unter den homogenen linearen Differentialgleichungen 
verdienen diejenigen mit constanten Coeffcienten besondere Be 
achtung; ihre Lösung führt auf ein algebraisches Problem, 
auf die Bestimmung der Wurzeln einer algebraischen Gleichung 
zurück. 
Die Gleichung 
(1) y{n) _(_ a iy {n-i) _|_ a 2 y( n ~ 2 ) + j- a n y = 0, 
worin a,i, 0,2, ... a n gegebene (reelle) Zahlen sind, wird näm 
lich durch jede Function befriedigt, welche die Eigenschaft 
(2) y = ry 
besitzt, sobald die (konstante r so bestimmt wird, dass 
(3) r n -f- a,ir n ~ x -f- a 2 r n — 2 -f- •••-)- a n — 0 
ist. Es ist nämlich eine Folge von (2), dass 
(4) y"= r 2 y, y"= r 3 y,... yW = r n y; 
die Einsetzung von (2) und (4) in (1) gibt aber 
y\r n -f- a x r n ~ 1 -f- a 2 r n ~ 2 -f- • • • + a„] = 0, 
und dies erfordert, wenn man von der selbstverständlichen 
particulären Lösung y — 0 absieht, dass (3) bestehe. 
Nun ergibt sich aus (2) durch Trennung der Yariabeln 
und Integration 
y = e rx -, 
hiernach ist die Exponentialfunction 
e rx 
ein Integral der Gleichung (1), wenn r eine Wurzel der 
charakteristischen Gleichung (3) ist. Sind also ri, r 2 , . . . r n 
n verschiedene Wurzeln dieser Gleichung, so hat man schon in 
(5) y = Ci e r ' x + *«*• + ••• + */- 
das allgemeine Integral der Gleichung (1), weil das zugehörige 
D ^ 0 ist. 
So gehört zu der Differentialgleichung 
V'— = 0 
die charakteristische Gleichung 
r 2 — a 2 — 0,