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Zweiter Theil. Integral - Rechnung. 
Ist die 2-fache Wurzel r x complex, = a-\-ßi } so gehört 
zu ihr eine ebenfalls X-fache conjugirte Wurzel a — ßi, und 
aus beiden entspringt der folgende Beitrag zum allgemeinen 
Integrale: 
e aa; (cos ßx + i sin ßx) [C 0 + C x x + C 2 x 2 + • • • + Cx—i x z ~ 1 ] 
+ e ax (cosßx — -¿sinßx)[C 0 '-{- C x x + C%'x 2 -)- ••• -f- C*_ ix x ~ x \ 
welcher sich nach Einführung neuer Bezeichnungen für die 
Constanten, und zwar 
wie folgt schreibt: 
je ax [A 0 -f- A x x + • • • + Ax—iX* —1 ) cosßx 
1 + (B 0 -f JB x x H (- Bx-i x 1 - 1 ) sin ßx] . 
342. Beispiele. 1) Zu der Differentialgleichung 
4 /'— 6/+ 4^/'— y = 0 
gehört die charakteristische Gleichung 
4r 3 — Qr 2 -j- 4r — 1 = 0; 
die Wurzeln derselben ergeben sich leicht, wenn man die 
beiden mittleren Glieder auflöst in — 2r 2 — 4r 2 2r 2r; 
die linke Seite zerfällt dann nämlich in die Factoren 
(2r — 1)(2 r 2 — 2r 4~ 1); mithin sind 
die fraglichen Wurzeln und daher 
das allgemeine Integral. 
2) Der Differentialgleichung 
y iv_ 4 y '"+ 3/4- 4y — 4i/ = 0 
entspricht die charakteristische Gleichung 
r 4 — 4r 3 -f 3r 2 -f- 4r — 4 = 0, 
deren linke Seite sich in die Form (r 2 — l)(r — 2) 2 bringen 
lässt; daraus resultiren die Wurzeln