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Zweiter Theil. Integral -Rechnung 1 . 
sich in eine Potenzreihe entwickeln lässt, wird diese Entwick 
lung die Taylor’sehe Reihe bilden und lauten 
(1) y = y 0 + \ 0 — ff 0 ) + fT2 ( x ~ x oT 4 ; 
wobei y 0 , y 0 ' } y Q " } . . . die zu x — x 0 gehörigen Werte von y 
und seinen Ableitungen bedeuten. Die Differentialgleichung 
gestattet die Gewinnung dieser Werte auf Grund folgender 
Erwägungen. 
Angenommen, die Gleichung sei von der n-ten Ordnung 
und lasse sich in Bezug auf den höchsten Diflferentialquotienten 
yW auflösen; dann wird 
(2) yW = cp (x, y, y,... y^-V) 
die allgemeine Form der Gleichung sein. 
Die Gleichung (2) gestattet aber, auch die höheren Ab 
leitungen von y über die n-te hinaus durch x, y, y,... y { - n ~ i) 
darzustellen; denn differentiirt man sie nach x, so entstehen 
rechts alle Diflferentialquotienten bis zur n-ten Ordnung ein 
schliesslich, und ersetzt man den höchsten von ihnen durch 
seinen Wert aus (2), so wird auch y( n + 1 ) durch x, y, y,.. .y^ n ~ 1) 
ausgedrückt sein. Darauf dasselbe Verfahren angewendet, er 
gibt ?/( n + 2 ) in analoger Darstellung u. s. w. 
Nun liegt es im Wesen einer Differentialgleichung n-ter 
Ordnung, dass man einem Werte 00 ——— OOq der unabhängigen 
Variabeln beliebige Werte von 
y, y,---y {n ~ 1] 
zuordnen kann; bezeichnet man diese Werte mit 
('l j C2 ,. • • c M , 
so sind nach dem Yorausgeschickten für 00 OOq alle Ablei 
tungen von y, von der n-ten angefangen, durch c lf c 2 , ... c n 
ausgedrückt und hiermit die Coefficienten von (1) gewonnen. 
Da ein auf solche Weise gefundener Ausdruck für y n will 
kürliche Constante enthält, stellt er das allgemeine Integral 
dar, jedoch nur dann und so weit, als die Reihe conver- 
gent ist. 
Liegt nichts im Wege, die Null als Ausgangspunkt der 
Entwicklung zu wählen, so tritt die Maclaurin’sche Reihe 
an die Stelle der Taylor’sehen und bedeuten nun in