Fünfter Abschnitt. Differentialgleichungen. 
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( 3 ) y = y 0 + x X + yH ^ + ’ ■ ■ 
die Coefficienten y 0 , y Q ', y 0 ", . . . die zu x = 0 gehörigen 
Werte von y, y\ y", .... 
Indessen ist der angedeutete Weg nur in besonders ein 
fachen Fällen zu empfehlen. Zweckmässiger ist es zumei st, 
die Reihe für y der Form nach anzunehmen und 
(4) y = Ä 0 x m -f A t x m +P‘ + Ä 2 x m +a 4 
zu setzen: unter der Voraussetzung, dass diese Reihe conver- 
gent ist, ergeben sich auch für y, y" } . . . «/W convergente 
Reihen durch gliedweise Differentiation von (4) (87). Alle 
diese Reihen in die vorgelegte Differentialgleichung eingesetzt, 
erhält man eine Gleichung, welche identisch, d, h. für alle 
Werte von x erfüllt sein muss. Indem man dies analytisch 
zum Ausdruck bringt, erlangt man die Mittel, um 1) den An 
fangsexponenten m, 2) das Fortschreitungsgesetz der Exponen 
ten, also die Natur der Zahlenreihe p i} p 2j . . .; 3) die Coeffi- 
cienten Ä 0 , A 1 , A 2 , . . . zu bestimmen. 
Bleiben so viele dieser Coefficienten willkürlich, als der 
Ordnungsexponent der Gleichung Einheiten hat, so ist durch 
(4) das allgemeine Integral gefunden. 
Immer aber hängt schliesslich die Zulässigkeit des Ver 
fahrens von der Convergenz der gewonnenen Reihe ab. 
Es ist nicht ausgeschlossen, dass man auf dem bezeich- 
neten Wege auch solche Integrale findet, die in endlicher 
Form durch elementare Functionen sich ausdrücken lassen; es 
braucht beispielsweise nur die gefundene Reihe eine elemen 
tare Function darzustellen. 
346. Beispiele. 1) Wir fangen mit einer Gleichung an, 
bei welcher beide Methoden in durchsichtiger Weise zum Ziele 
führen und die überdies directe Integration gestattet, näm 
lich mit 
(«) y"= ay. 
Aus (a) ergibt sich durch n — 2-malige Differentiation 
yi n ) = ay^ n ~ 2) ; 
wenn man also x = x 0 die Werte y 0 = c l7 y 0 '= c 2 von y, y 
zuordnet, so ergibt sich