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Zweiter Theil. Integral-Rechnung. 
350. Um nun die nothwendige Bedingung eines Extrems 
zu finden, kann man in ähnlicher Weise schliessen wie bei 
gewöhnlichen Extremen (115, 120). Durch die Formel (13) 
ist die Variation, d. i. die Änderung von v, welche der unend 
lich kleinen Variation 8y entspricht, ihrem Hauptwerte nach, 
nämlich bis auf Glieder der ersten Ordnung in 
* d ■ Sy d* ■ 8y 
s, j’ ST’ sJ-'"- 
dargestellt; soll jedoch ein Extrem eintreten, so muss der 
Hauptwert in den genannten Grössen yon gerader Ordnung 
sein, damit eine Zeichenänderung von 8y nicht auch eine 
Zeichenänderung von 8v zur Folge habe. Demnach ist noth- 
ivendige Bedingung eines Extrems, dass 
x i 
H -j— J*&dy • dx = 0 
x 0 
sei; wegen der Unabhängigkeit beider Glieder, da H nur die 
Grenzen, der zweite Theil aber den ganzen Verlauf von 8y 
betrifft, zerfällt dies in die Bedingungen 
(14) H = 0, ® = 0. 
Die weitere Verfolgung derselben wird aus der Besprechung- 
einiger besonderen Fälle klar werden. 
1) Es sei V=f(x, y,«/'); dann lauten die Gleichungen (14) 
(15) { Vöx + rjy}l = 0, Y- Ii'= 0. 
Die erste ist von selbst befriedigt, wenn oc 0 , y 0 ; x x , y x 
feste Werte, die Endpunkte der Curve M 0 M X also gegeben 
sind, weil dann dx 0 , dx 1} dy 0 , 8y x insgesammt verschwinden. 
Die ausgeführte zweite Gleichung ist eine Differential 
gleichung zweiter Ordnung, und hat man ihr Integral 
F{x, y, c x , c 2 ) = 0 
gefunden, so wird die Lösung der Aufgabe vollendet durch 
die Ermittlung der Werte der Constanten, zu welchem Zwecke 
die Gleichungen 
F(x 0 , y 0 , c t ,c 2 ) = 0 
F(x 17 y x , c i} c 2 ) = 0 
zu verwenden sind.