Fünfter Abschnitt. Differentialgleichungen. 
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beziehungsweise kleinsten Wert annimmt. Die ersten Aufgaben 
dieser Art wurden 1697 durch Jacob Bernoulli zur analyti 
schen Lösung gestellt. 
jBeispiele. 1) Unter den Linien von gegebener Länge a, 
welche zwei gegebene Punkte M 0 M l} Fig. 188, verbinden, die 
jenigen zu bestimmen, für welche die Fläche P 0 P 1 M 1 M 0 am 
grössten oder am kleinsten ist. 
Es handelt sich also um die extremen Werte von 
Fig. 188. 
Mi 
*1 
S =J i ydx 
Xq 
unter der Bedingung, dass 
x i 
s =J*j/l y'* dx = a 
sei. Dies aber kommt auf die Feststellung der absoluten Ex 
treme von 
s hs == J %[ \y + + y' 2 ) 
dx 
zurück. - 
Da nun 
V=y + Ayi-f./ 2 , 
F=l, Y x 
ly' 
so ist 
oder 
yi + y"' 
ly" 
(1 + y'M 
, *7 
- = o, 
ly" 
(1 + y*f 
(1 + y*f 
y" 
die Differentialgleichung der gesuchten Curve, diese selbst 
also ein Kreis. Zu seiner Bestimmung hat man die Sehne 
M Q M t und den zu ihr gehörigen Bogen a\ es ergeben sich 
aber zwei Lösungen; der nach unten concave Bogen gibt ein 
Maximum, der nach oben concave Bogen ein Minimum der Fläche. 
2) Unter den Linien von gegebener Länge a, die zwei 
gegebene Punkte verbinden, diejenige zu bestimmen, welche 
bei der Umdrehung um eine in ihrer Ebene liegende Gerade