396 Zweiter Theil. Integral-Rechnung. 
gehören die Hilfsgleichnngen 
dx dy dz 
ßz — yy yx — uz uy—ßx 
Die Integration derselben ist in 331, 1) ansgeführt worden und 
ergab die beiden von einander verschiedenen Integrale 
ax -f- ßy -f- yz = a 
x 2 + y 2 + ^ — b, 
welche zusammen die Gesammtheit der um die Gerade 
___ y_ == L. 
u ß y 
als Axe gelegten Kreise repräsentiren. Das allgemeine Integral 
ax -f- ßy -}- yz = (fix 2 -f- y 2 -f- z 2 ) 
ist demnach die allgemeine Gleichung aller Rotationsflächen, 
welche die genannte Gerade zur Axe haben. Als Charakte 
ristiken figuriren die Parallelkreise. 
5) Die Differentialgleichung 
xzp -f- yzq = xy 
ergibt die Hilfsgleichungen 
dx dy dz * 
xz yz xy' 1 
die erste derselben hat das Integral 
y 
— — a; 
x ’ 
um ein zweites Integral zu finden, erweitere man die drei 
Brüche der Reihe nach mit y, x, —2 z und bilde hierauf die 
Summen der Zähler und Nenner, man erkennt so, dass 
ydx -(- %dy — 2 zdz = 0 
sein müsse, und diese exacte Gleichung gibt das Integral 
xy — z 2 = h . • 
Demnach ist die allgemeine Lösung der vorgelegten 
Gleichung 
= xy + g> (-!) • 
358. Wir setzen nunmehr von der Differentialgleichung 
(1) F{x, y, z, p, q) — 0