Fünfter Abschnitt. Differentialgleichungen. 
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ausdrücklich voraus, sie sei nicht linear in Bezug auf p und q, 
und fragen nach den Integralen, welche sie besitzen kann. 
Die Gleichung deiinirt, wie in 355 ausgeführt worden ist, 
oo 4 Flächenelemente. Eine einzelne Fläche umfasst oo 2 Flächen 
elemente, somit kann ein zweifach unendliches System von 
Flächen alle oo 4 Elemente der Gleichung (1) in sich ver 
einigen. Ist ein solches Flächensystem gefunden, so wird es 
sowie auch seine Gleichung 
0(x, y, 0,a,h) = 0, 
(2) 
welche zwei unabhängige willkürliche Parameter enthalten 
muss, eine vollständige Lösung der Gleichung (1) genannt. 
Die Probe dafür, ob (2) eine solche Lösung ist, wird in 
Folgendem bestehen: Differentiirt man (2) nach x und nach y 
und eliminirt mit Hilfe der so erhaltenen Gleichungen 
die Parameter a, h aus (2), so muss die Gleichung (1) zum 
Vorschein kommen. 
Der Gang dieser Probe zeigt zugleich, dass m jedem zwei 
fach unendlichen Flächensysteme eine Differentialgleichung erster 
Ordnung gehört. 
Es entsteht nun die Frage, ob eine vollständige Lösung, 
wenn sie einmal gefunden, alle möglichen Lösungen der Diffe 
rentialgleichung herzustellen gestattet. 
1) Mit der Annahme einer Beziehung 
(4) 
cp{a, h) — 0 
zwischen den Parametern a, & ist aus dem zweifach unend 
lichen Flächensysteme ein einfach unendliches herausgehoben. 
Besitzt letzteres eine Einhüllende, so stellt diese ebenfalls eine 
Lösung dar; denn (184) jedes ihrer Plächenelemente ist zu 
gleich Flächenelement irgend einer Fläche aus (2), genügt also 
der Gleichung (1), Nun wird die Gleichung der Einhüllenden 
gefunden, wenn man zuerst zwischen den Gleichungen