Fünfter Abschnitt. Differentialgleichungen. 
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ist sie endlich der xy-Ebene parallel, so ist y = 0, daher 
(3*) ap -f- ßq — 0, woraus q — ap. 
Die Beziehungen (1*), (2*), (3*) führen zur Integration 
der Gleichungen (1), (2), (3) beziehungsweise. 
Gleichung (1) gibt für q = a- ■ ■ p = fix, a); hiermit wird 
dz = f(x, a)dx -j- ady 
und daraus ergibt sich das vollständige Integral 
(I) z = f fix, d)dx -f- ay -f- 
Gleichung (2) liefert für p = a ■ • ■ q = f(y, a); hiermit wird 
dz — adx f{y, a)dy 
und daraus folgt das vollständige Integral 
(II) e = ax + h + ffiy, a)dy. 
Gleichung (3) gibt, wenn darin q — ap gesetzt wird, 
p =f{z, a); demnach lautet nun die Gleichung dz —pdx -f- q_dy 
wie folgt: 
dz == f(z, a) |dx ady^ 
und gibt nach Trennung der Yariabeln das vollständige Integral 
(ui) . +«, + * 
Eine singuläre Lösung gibt es in den vorliegenden Fällen 
nicht, weil die Differentiation nach einem der Parameter, nach 
&, zu einer absurden Gleichung führen würde. 
Zur Illustration mögen die folgenden besondern Fälle dienen. 
Die Gleichung 
p = 2qx 
gibt auf Grund von (I) die vollständige Lösung 
z = ax 2 -}- ay -(- h, 
eine zweifach unendliche Schar parabolischer Cjlinder. 
Die Gleichung 
q = 2yp 2 
liefert die vollständige Lösung 
z = ax -f- a 2 y 2 + h, 
gleichfalls in einer zweifach unendlichen Schar parabolischer 
Cylinder bestehend.