Fünfter Abschnitt. Differentialgleichungen. 409 
dz = y y {x, a)dx -f- {y, a)dy 
zu einer exacten Gleichung, deren Integral 
(2) g =frp 1 { x , a)dx +y Vi(y, a)dy -f h 
ist. 
Ein Beispiel hierzu bietet die Gleichung 
P 2 + q 2 = « + y\ 
als vollständige Lösung ergibt sich laut (2) 
z =J*y'x -j- a dx -f- J]/y — ady-\-b, 
d. i. 
0 = t o + a f + 4 (y— a f+ h - 
361. Die allgemeine von Lagrange und Charp it her 
rührende Methode der Integration einer nichtlinearen Gleichung 
(1) F(x, y, e, p,q) = 0 
geht darauf aus, eine zweite Gleichung zwischen x, y, z, p, q 
und einer willkürlichen Constanten a: 
(2) f{x, y, z, p, q) = a 
zu finden derart, dass die aus (1) und (2) resultirenden Be 
stimmungen für p, q (im Allgemeinen Functionen von x, y, z, a) 
(3) dz — pdx-\-qdy 
zu einer exacten Gleichung (310) machen. Die hiefür noth- 
wendige Bedingung besteht darin, dass p vollständig nach y 
differentiirt dasselbe Resultat ergibt, wie die vollständige Diffe 
rentiation von q nach x, d. h. dass 
dp 
dy 
, dp dz 
' dz dy 
H _i_ 
dx 
dq dz 
dz dx 
oder, wenn man für 
braucht, dass 
dz dz 
dx’ dy 
wieder die Zeichen p, q 
(4) 
i cp_ _ dq 
dy ' dz J dx 
+ 
dz 
p. 
ge- 
Um diese Bedingungen auszuführen, difierentiire man (1), 
(2) unter dem Gesichtspunkte, dass p, q Functionen von 
x, y, z sind, nach x, und man erhält