26S. Rationale Funktionen trigonometrischer Funktionen 
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deren erstes durch das in 258 besprochene Verfahren der partiellen Inte 
gration sogleich auf ein algebraisches sich zurückführen läßt, indem 
JG{x) Ix dx = G x (x) Ix —J dx; (12) 
dabei bedeutet G x (x) das Integral von G(x). — In dem zweiten Teile 
ergibt eine einfache reelle Wurzel a von cp (x) den Bestandteil 
durch die Substitution x — a = as verwandelt sich dies in 
AJ l M^r3 cU = a{ la U +j l -^-^dz] 
und das verbleibende Integral ist nicht durch elementare Funktionen dar 
stellbar. Eine mehrfache reelle Wurzel a gibt Bestandteile von der Gestalt 
4 
Ix 
dx, 
(x — a) 1, 
die sich durch das Verfahren von 258 auf algebraische Integrale zurück 
führen lassen, indem für m > 1 
(* Ix 
J (x — c 
dx 
Ix 
T + 
W: 
dx 
x (x — a) 
a)" 1 (m — i) (x — a) 
Beispiele. 1. Auf Grund von (12) ist 
J (cix 2 -\-2bx -j- c) Ixdx = (^- + bx' 2 -f cxj Ix — ( a ^ + ~F cx-j- C) 
2. Mit Benutzung von (13) erhält man 
f*x 2 4- 1 7 7 Clx 7 flx 7 9 ¿c 2 -{- 1 3 äj 2 1 7 
I —~— Ix dx = I -5 dx -f- i — 4 dx = r—s _ , ix 4- (J. 
J £C 4 J X 2 J X 4 9iC 3 3x 8 
(13) 
263. Rationale Funktionen trigonometrischer Funkti onen 
Das Integral einer rationalen Funktion von 
sin X, cos X, tg X, cotg X, . . . 
läßt sich immer auf das Integral einer rationalen algebraischen Funktion 
zurückführen; die dazu dienliche Substitution richtet sich nach den unter 
dem Integralzeichen auftretenden trigonometrischen Funktionen und nach 
der Art ihres Vorkommens. Einige der wichtigen Fälle sind im Nach 
stehenden behandelt.