264. Reduktionsformeln 
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J* dx, 
Die Formeln (III) und (Y) hören auf zu gelten für m = — n\ die 
Integrale f—— dx, f dx sind aber mittels (II), bzw. (I) zurück- 
e/ COS ,n iC t/ sin X 
fübrbar auf eines der Integrale 
/ sin xdx rcos xdx 
COS X ’ J sin X 
Außer auf die genannten können die Reduktionsformeln nur noch 
auf die Endintegrale „ „ 
f sin xdx, I cos xdx hinleiten, 
Alle Endintegrale sind elementar, und obwohl ihre Werte im Voran 
gehenden schon angegeben sind oder aus vorhandenen Formeln leicht ab 
geleitet werden können, sollen sie hier nochmals zusammengestellt werden: 
jdx = x, J\sin xdx = — cos x, J cos xdx = sin x, 
( dx 7 , x Cdx 7. /* . x\ 
J siu® ~ *8 2 * J cos x ~ o \ 4 2 / > 
f 
f. 
dx 
Sin X COS X 
= Ugx, 
cos xdx 7 . Csin xdx 7 
l Sin X, I = — l COS X, 
7 $ eno w ' 
I 
sm x cos xax 
J cos x 
sin 2 iC 
Man kann mitunter die Benutzung der Reduktionsformeln umgehen, 
z. B. dann, wenn einer der Exponenten m, n eine positive ungerade Zahl 
ist, oder auch sonst anderweitige Vereinfachungen eintreten lassen, wie 
dies aus den folgenden Beispielen zu entnehmen ist. 
Beispiele. 1. Mit Benutzung der Formel (III) findet man 
J si 
. , a 7 sinocos 2 # , 2 
sur# cos d xdx = - \- 7 
/' 
sin 4 x cos xdx 
sin 6 ® cos 2 ® . 2 . - , „ 
+ oT Sill 5 x -f <7; 
7 ' 35 
in anderer Weise: cos 3 ® = (1 — sin 2 ®) cos®, daher 
j‘i sin 4 ® cos 3 ®i£® = j sin 4 ®cos®<i® — J*sin 6 ® cos xdx 
= — sin 5 x —sin 7 x 4- G. 
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