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IL Abschnitt. § 3. Integration transzendenter Funktionen 
2. Nach Formel (IV) ist 
f'. J X 2 = . 1 - + 2 fS*- = . 1 2 cotg x + G- 
J sm 2 #cos J # sm#cos# J sm 2 # sm#cos# ö ’ 
man kann aber auch folgenden Weg einschlagen: Es ist 
dx = (sin 2 # + cos 2 x)dx, daher 
/ dx C dx . C dx , . , si 
a g- = f . + / • • g = tg x cotg # 4- 6 . 
sm 2 #cos 2 # cos 2 # ^ sm z x ° ° 
3. Zur Reduktion der Integrale j sin m xdx, ^cos n xdx (m, n > Ö) 
ergeben sich aus (V), beziehungsweise (III), wenn man dort n = 0, hier 
m = 0 setzt, die Formeln 
J ai 
/ 
• m 7 sm 1 £ccosa? , m — 
sin xdx = — H 
m m 
cos n xdx 
sin x cos” 1 x n — 
n ' n 
1 J*sin” 1 ~ 2 xdx 
-Jcos” -2 xdx. 
(19) 
in gleicher Weise erhält man durch Benutzung yon (VI) und (IV) 
■ cos x m — 2 f* dx 
x (m — 1) sin'” -1 « m — 1J sin’" - 2 # 
sin x , n — 2 i* dx 
i — l,l cos” - 2 x 
r da 
J sin” 
/ 
(n — 1) cos” 1 X 
/ 
cos X 
Insbesondere ist beispielsweise 
. o 7 sin 2 # cos« , 2 
sur* xdx = —- j- — 
O 0 
/ . 7 sin 2 # cos# 2 COS X , 
| sm xdx = 3 3 (- 0, 
aber auch 
sm* xdx 
J*sin* xdx = sin #(?# — ^ 
cos 2 # sin xdx 
. cos®# ~ 
cos # -j (- 6 ; 
ferner 
f dx 
cos # 
±1 
J sin 8 X 
2 sin 2 # ' 
•‘.1 
d# cos # . 1 7 . x . 
•— — — 4——h ir ^ —h ^ • 
sm ¿c • 2 sm 2 # 2 0 2 
265. Zurückführung auf die Sinus und Kosinus vielfacher 
Bogen. Die Lösung des Integrals (18) bei positiven ganzen m, n, also 
auch die Integration einer rationalen ganzen Funktion von sin x und cos x 
kann noch auf einem anderen Wege erfolgen, welcher sich darauf grün 
det, daß die Potenzen von sin x und cos x durch die Funktionen der 
Vielfachen von x sich ausdrücken lassen. Diese Darstellung ergibt sich 
mittels der Formeln (105, (15)):