266. Produkt aus einer rationalen Punktion und Sin oder Cos 
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wird auf das rechtsstehende Integral der ersten Gleichung die zweite 
Reduktionsformel und umgekehrt angewendet, so ergeben sich die Reduk 
tionsformeln : 
(24) 
I G(x) sin xdx = — G(x) cos -j- G'(x) sin x — j*G"(x) sin xdx 
J G(x) cos xdx = G(x) sin -f G'(x) cos x — j G"(x) cos xdx, 
durch welche das linksstehende Integral auf ein solches derselben Art 
zurückgeführt wird, in welchem aber der Grad der ganzen Funktion um 
zwei Einheiten niedriger ist. Durch eventuelle Mitbenutzung der For 
meln (24) und (23) kann man diesen Grad schließlich auf Null bringen 
und die Reduktion bis zu den Grundintegralen j sin xdx, J cos xdx führen. 
Bei dem zweiten Teile der Integrale (22) liefert eine einfache reelle 
Wurzel a des Nenners cp(x) einen Bestandteil, der vom Koeffizienten ab- 
gesehen lautet: 
/ ——— dx, beziehuags weise 
x — a 7 ” 
cos X , 
(ix: 
V. U 7 
setzt man x — a = t } so wird 
C sin X 
j 
x— a 
cos x 
x— a 
dx 
dx 
cos a 
cos a 
J; 
I cos 
J - 
sin tdt 
-f sin a 
tdt 
sin a 
f 
ß 
cos tdt 
t 
sin tdt 
1 : 
d. h. beide Formen lassen sich durch den Integralsinus und den Integral 
kosinus darstellen. 
Eine mehrfache reelle Wurzel a von (p(x) gibt Anlaß zu Integralen 
der Form r cos xdx 
beziehungsweise j , ^ ^; 
/ sin xdx 
-{x—-a) n ’ 
wendet man auf diese partielle Integration an in der Weise, daß 
dv = ——gesetzt wird, so kommt 
{x — a) 
Fsm xdx 
J 
sin X 
(x - ä) 
/ cos x dx 
(x — a) n 
1) (x- 
cos X 
\tl — 1 
a) n 
cos xdx 
(x — d) n ~ 1 
i- r sin xdx 
~,fi 
(25) 
(n — 1) (x — a) n 1 n — 1J {pc — a) n 
und nach nochmaliger Reduktion der rechts verbleibenden Integrale