102 IU. Abschnitt. § 1. Wertbestimmung und Schätzung bestimmter Integrale 
Mit Hilfe der Formeln (15) und (16) läßt sich die transzendente 
Zahl y zwischen beliebig enge rationale Grenzen einschließen. In dem 
Intervalle (0, y) ist nämlich 
sin 2 ^ -1 # sin 2 ^ x sin 2iH ‘ 1 a;, 
wobei das Gleichheitszeichen nur an den Grenzen des Intervalls Geltung 
hat; daraus folgt (230, 6.) daß 
7t 71 . 7t 
¥ ¥ ¥ 
J*sin 2p ~ 1 xdx >J*xdx > j*sixd p+x xdx, 
o ob 
2.4 • • • (2p — 2) _ 1 • 8 •• • (2v — 1) % . 2 • 4 ■ • • 2_p 
also 
(2p — 2) ^ 1 • 3 ••• (2p — 1) 7t ^ 2-4 
(2p — 1) ^ 2-4 • • • 2p T ^ 3 - 5 • • • (2p -f 1) ; 
3 • 5 
2 • 2 • 4 • 4 • • (2p — 2)2 p 
woraus 
1 • 3 • 3 • • • (2p — l)(2jP — V) ^ 2 ^ 1.3-3.-.(2 p — l)(2p-f-l) ’ 
die obere Grenze geht aber aus der unteren durch Multiplikation mit 
2 ^— hervor, daher ist weiter 
2 p ’ 
2 • 2 ■ 4 • 4 • • 2p ■ 2 p 
1 + 
2 p 
Daraus schließt man, daß 
2•2•• • 2 p•2 p 
T-J.:. (2j> - i)(2p + 1) 
>1. 
= lim 
p = +00 
2 • 2 • ••2p•2p 
1 • 3 • • • (2 p — 1) (2p -j- 1) 
2 • 2 ■ 4 • 4 
1-3-3 - 5 
(17) 
Diese Darstellung von y durch ein konvergentes unendliches Pro 
dukt (79, 4.) hat zuerst John Wallis 1 2 ), und zwar vor Erfindung der 
Infinitesimalrechnung, gegeben; nach ihm heißt (17) die Wallissche Formel■ 
An dieselbe möge die Entwicklung einer anderen wichtigen Formel 
der Analysis geschlossen werden. 2 ) 
Setzt man in der logarithmischen Reihe 97, (25) a = 1, s = —, so 
ergibt sich , , ( j > 
H 1 ^ \S n + 1 ■*" 3+» + 1)" + 5(2«+ 1)' ) 
1) Arithmetica infinitorum, 1655 (Opera I, p. 469 ff.). 
2) Ygl. E. Cesaro, Element. Lehrbuch der algebraischen Analysis und der 
Infinitesimalrechnung, deutsch von 0. Kowalewski, p. 154.