104 III. Abschnitt. § 1. Wertbestimmung und Schätzung bestimmter Integrale 
n\ — an 
zu deren Vollendung noch die Kenntnis des Grenzwertes a erforderlich 
ist. Seine Bestimmung gelingt mit Hilfe der Wallis sehen Formel; 
schreibt man diese in der Gestalt 
2 [1 8 . .. (2» - 1)Y 2 n + 1 ; = oc [(2n) !]*(2« + 1) 
und ersetzt man darin n\ und (2n)! durch die nach der Vorschrift (cc) 
gebildeten Ausdrücke, so wird 
woraus a = ]/2 7t folgt. 
Nach Einsetzung dieses Wertes in (a) ergibt sich endgültig 
n\ = n H e + 12 ” ]/2 Tin. (ß) 
Dies ist die Stirlingsche Formel. 1 ) Sie liefert Grenzen für nl, indem 
iß) 
man einmal 0 = 0, ein zweitesmal 6 = 1 setzt. Begnügt man sich mit 
der unteren zu 6 = 0 gehörigen Grenze als Näherungswert, wie dies für 
viele Fälle der Anwendung ausreicht, so hat man die Näherungsformel: 
» n\ = n n e~ n Y2rtn. 
Zur Illustration diene das folgende. Es ist 
20! = 2 432 902 008 176 640 000, 
hingegen 20 20 e~ 20 ]/40tc = 2 422 786 
(r) 
es liegt also tatsächlich der strenge Wert zwischen diesen beiden Gren 
l 
zen, der oberen weit näher. Das Verhältnis der Grenzen, e 12n , nähert 
sich mit wachsendem n der Einheit. 
9. Nach Formel 257, 3. ist 
7t 
2 
7t 
J' 
dx 
a* cos s x -j- & 2 sin*5c 
0 
(ab > 0). 
1) Von A. de Moivre und L. Euler vorbereitet, von J. Stirling, Metho 
dus differentiatis (1730) zuerst formuliert.