112 III. Abschnitt. § 1. Wertbestimmung und Schätzung bestimmter Integrale 
Bezeichnet 0(x) ein Integral von cp(x), also eine stetige Funktion 
mit dem Difierentialquotienten cp (x), so gibt partielle Integration 
b b 
J*cp(x) p(x) dx = {f (x) 0(x)} — ¡0(x) dp(x); 
a et 
das Integral rechter Hand erfüllt nun alle Bedingungen, welche zur An 
wendung des ersten Mittelwertsatzes erforderlich sind; es läßt sich also 
eine Stelle § zwischen a und b derart bestimmen, daß 
b b 
I 0 (x) dp(x) = 0(1)*jdil>(x) = &(%) [4>(b) — ^(a)]. 
a a 
Wird dies in die obige Gleichung eingetragen, so kommt 
b 
f tp(x) i>(x) dx = ip(b) 0(b) — ip(a) 0(d) — d>(£) \p(b) — ip(a)] 
a = p(a) [<&(|) - 0(a)] + f(b) [®(b) - 0(1)]; 
vermöge der Bedeutung von 0(x) ist aber 
£ b 
0(g) — 0(a) = ßp(x) dx, 0(b) — 0(1) = j cp(x) dx, 
a £ 
daher hat man endgültig: 
b £ b 
f p(x) ip(x) dx = p (a) Jcp ix) dx + p(b)J cp(x) dx (25) 
a a ? 
(a < § < b). 
Der Inhalt dieser Formel wird als der zweite Mittelwertsatz 1 ) bezeichnet. 
Für cp(x) = 1 lautet sie 
dx = (| — a) p(a) -f (b — |) p(b) (26) 
und hat dann, wenn man 4>(x) als die zur Abszisse x 
gehörige Ordinate auffaßt, einen einfachen geometri- 
mals fallenden (oder niemals steigenden) Kurve CD 
(Fig. 133) begrenzte Fläche AJBDC als Summe zweier Rechtecke APQC 
und PBDB darstellen läßt, deren Grundlinien AP, PB zusammen AB 
ausmachen und deren Höhen die Anfangsordinate AC und die Endordi- 
nate BD sind. 
1) In dieser Form zuerst von Weierstraß in seinen Vorlesungen gegeben.