273. Eigentliche und uneigentliche Integrale 
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§2. 
Erweiterung: des Xntegralfoegriffs. 
273. Ei gentliclie und uneigentliclie Integrale. Die Begriffs 
entwicklung des bestimmten Integrals 
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a 
wie sie in 226—227 erfolgt ist, gründet sich auf zwei wesentliche Vor 
aussetzungen: daß die Funktion fix) in dem Integrationsintervalle (a, b) 
mit Einschluß seiner Grenzen eindeutig bestimmt und stetig oder zum 
mindesten begrenzt sei (in welch letzterem Falle sie noch eine weitere 
Bedingung erfüllen muß (227)), und daß das Intervall (a, b) selbst end 
lich sei. 
Man kann nun den Integralbegriff in zweifachem Sinne erweitern: 
Einmal, indem man ihn auch auf solche Funktionen auszudehnen sucht, 
welche im Integrationsintervalle oder an seinen Grenzen unendlich wer 
den; und dann, daß man ihn sinngemäß auch auf den Fall zu übertragen 
sucht, w'o das Integrationsintervall nach einer oder nach beiden Seiten 
ins Unendliche sich erstreckt, wobei selbstverständlich vorausgesetzt wird, 
daß die Funktion f(x) für alle reellen Werte von x definiert ist. 
Diese Degriffser Weiterungen gründen sich darauf, daß das Integral der 
ursprünglichen Definition eine stetige Funktion seiner Grenzen ist (230, (8)). 
Man pflegt Integrale, bei welchen die oben angeführten Bedingungen 
bestehen und die demnach Grenzwerte von Summen darstellen, eigentliche 
bestimmte Integrale, dagegen die aus der Begriffserweiterung hervorgehen 
den Integrale uneigentliche bestimmte Integrale zu nennen. 1 ) 
274. Integrale unendlich werdender Funktionen. Wir be 
ginnen mit der Untersuchung von Integralen unendlich werdender Funk 
tionen. 
Die Funktion f(x) sei in jedem Teile (a, x ) des Intervalls (a, b) end 
lich und stetig, werde aber unendlichgroß bei dem Grenzüb er gange 
lim x' — b — 0, oder, wie man sagt, an der oberen Grenze von (a, V). 
Dann ist, solange a < x < b, 
1) Diese Begriffsunterscheidung findet sich zuerst bei Riem an n klar aus 
gesprochen. (Werke, S. 225.) 
C zuber, Vorlesungen. II. 4. Aufl. 
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