278. Funktionen mit unaufhörlichem Zeichenwechsel 
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I I , , I ^ 0V* 
a 0 + ! a i + ' ' ' + I a n : > ~ g 
-—|—-—J- 
Li/ï + V2 ^ 
+ 
Vn-f 
W' 
also (73, 3.) 
I | sin (x 2 ) ! dx = + oo. 
Es ist nicht ohne Nutzen, auf das verschiedene Verhalten der beiden 
Integrale « °° 
J*dx, j sin (x 2 )dx 
0 0 
hinzuweisen. Bei dem ersten erfolgte die Teilung in gleiche Intervalle 
(0, je), (je, 2je), . . ., aber die Funktion nimmt von einem Intervalle 
zum nächsten immer kleinere Werte an: die Kurve y — —— ist eine 
u x 
Wellenlinie von gleich langen Wellen mit abnehmender Amplitude 
(Fig. 134). Bei dem 
Y 
Ing. 181. 
Fig. 135. 
zweiten Integrale wur- Y 
........ 
den die Teilintervalle 
^^ 
/ \ f\!\ 
(0,]/je),(]/je,]/2je),..., 0 
JtT'— -^¿x .1.7 """ 0 
immer kleiner, in je- t 
Y 
dem derselben erreicht 
aber die Funktion sin (x 2 ) denselben größten Betrag: die Kurve y = sin (¿c 2 ) 
ist eine Wellenlinie mit abnehmender Wellenlänge, aber gleichbleibender 
Amplitude (Fig. 135). 
3. Der Schluß von der Existenz eines Integrals mit unendlichem 
Integrationsgebiete auf die Konvergenz einer unendlichen Reihe kann 
auf Grund des folgenden Satzes gemacht werden: Ist f\x) eine in dem 
Intervall (a, oo) beständig positive und abhnehmende Funktion, und hat 
das Integral °° 
j f(x)äx 
einen bestimmten Wert, so ist die unendliche Reihe 
f{a) + f(a -f- 1) +/■(« + 2) 4 
konvergent; hat hingegen das Integral den Wert -f- oo, so ist die Reihe 
divergent; a bedeutet die kleinste ganze Zahl in (a, + oo). 
Weil nämlich für alle Werte von x zwischen a + n und a -j- n -f 1 
f(a + n) > f{x) > f(a + n + 1), 
9*