132 III. Abschnitt. § 2. Erweiterung des Jntegralbegriffs 
so ergibt sich durch Integration zwischen a -j- n und a -f- n -f 1: 
a + n + 1 
f(cc -f- n ) f(x)dx > f(a -f n + 1). 
a + n 
Daraus folgt aber, daß 
00 
j f(x)dx > f(a + 1) + f(a + 2) + f(a + 3) 4 
a 
oo 
J*f{x)dx < f(a) -f- f(u -f- 1) + f(& + 2) -f- • • •. 
a 
00 
Ist demnach J f(x)dx eine endliche Große, so ist vermöge der ersten 
(X 
Beziehung die aus positiven Gliedern bestehende Reihe f(u -f-1) -f- f(cc J r 2) 
+ f(u + 3) -j- • • •, also auch die Reihe f(a) -f- f(a -f 1 )-)-•• • konver 
gent; die zweite Beziehung zeigt, daß die Reihe f(u) -j- f(a -f- 1) -f- • • • 
divergent ist, wenn das Integral einen unendlichen Wert hat. 
So hat das Integral 
0 > 0) 
einen bestimmten Wert, wenn n > 1, dagegen einen unendlichen Wert, 
wenn n <; 1 (276, 1.); infolgedessen ist die Reihe 
J: i_ JL JL i . 
l n ' 2 ?? * • 
konvergent für n > 1, divergent für n < 1 (73, 1., 3., 4.). 
oo 
Das Integral f hat den Wert -f- oo, weil 
oc 
/ 
dx 
xlx 
lim llx — 112 =■ -f- oo, 
x = + oo 
* _| 1 I * I 
212 “ 3Z8 ' 4Z4 “ 
daher ist die Reihe 
divergent.