279. Hauptsatz über die Integration gleichmäßig konvergenter Reihen 133 
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§ 3. Integration unendlicher Reihen. 
279. Hauptsatz über die Integration gleichmäßig konver : 
genter Reihen. Die Aufgabe, eine konvergente unendliche Reihe, deren 
Glieder Funktionen von x sind, zu integrieren, kann sich in zweifacher 
Weise darbieten. Entweder ist die zu integrierende Funktion durch eine 
solche Reihe definiert, und dann liegt die Aufgabe unmittelbar vor 5 oder 
die Funktion unter dem Integralzeichen gehört zu denjenigen, deren un 
bestimmte Integration mittels der elementaren Funktionen in endlicher 
Form nicht möglich ist, und dann wird man mittelbar zu jener Auf 
gabe geführt, wenn man die Funktion in eine konvergente Reihe ent 
wickelt. 
Es sei /¿0*0 + /i 0*0 + /¿0*0 H (1) 
eine unendliche Reihe, deren Glieder in dem endlichen Intervalle (a, b) 
mit Einschluß der Grenzen eindeutige, stetige Funktionen von x sind, 
und die in dem genannten Intervalle gleichmäßig konvergiert (81). Dann 
ist ihr Grenzwert f(x) eine in demselben Intervalle einschließlich seiner 
Grenzen stetige Funktion von x (83) und daher zur Integration über 
(a, b) geeignet. Es handelt sich nur darum, in welcher Weise die Inte 
gration an der definierenden Reihe (1) zu vollziehen ist. Darüber belehrt 
nun der folgende Satz: 
Die durch gliedweise Integration einer in (a, b) gleichmäßig konver 
genten Reihe f 0 (x) -f (ß) + /2 0*0 + * • • entstandene Reihe 
v u v 
J /¿0*0 äx -f f fi (x) dx -j- f f 2 (x)dx 
+ 
(2) 
ist konvergent und 
J f(x)clx 
ihr Grenzwert, wenn f(x) der Grenzwert der vor gelegten Reihe ist. 
Setzt man nämlich 
/¿0*0 + /i(tf) + • • • + /¿0*0 = s n (x), 
dueigent || /*+i(®) + f n+2 ( x ) 1 r n (x), 
so daß f(x) = s n (x) + rjx), 
so gibt die Integration (230, 5.)