279. Hauptsatz über die Integration gleichmäßig konvergenter Reihen 135 
Ronvergenzintervall von (1) angewiesen — um die Formel für unbe 
stimmte Integration zu erhalten. 
Eine Potenzreihe ist in jedem Intervalle, das innerhalb ihres Kon 
vergenzintervalles liegt, gleichmäßig konvergent (85); daraus ergibt sich 
auf Grund des obigen Satzes die wichtige Folgerung: 
Eine Potenzreihe ist in jedem Intervalle, das innerhalb ihres Konver 
genzintervalles enthalten ist, zur gliedweisen Integration geeignet. 
Was die Grenzen des Konvergenzintervalles selbst anlangt, so ist 
folgendes zu bemerken. Ist X beispielsweise die obere Grenze des Kon 
vergenzintervalles, a jedoch innerhalb desselben gelegen und die Reihe 
x 
x 
J f 0 (x)dx -f f )f t (x)dx + • • ■ 
a 
a 
konvergent, so stellt sie den Wert des Integrals 
x 
a 
auch dann noch dar, wenn die vorgelegte Reihe an der Grenze X selbst 
nicht mehr konvergent sein sollte (274). 
Ist demnach insbesondere (— X, + X) das Konvergenzintervall der 
Potenzreihe 
a 0 -f- a t x + a 2 x 2 H 
und f(x) ihr Grenzwert, so ist 
X 
0 
für jedes x, das dem Betrage nach kleiner ist als X, und es gilt auch noch 
f(x)dx = a 0 X + a 1 -- -f- « 2 3 + • • 
o 
wenn nur die rechts befindliche Reihe konvergent ist, auch wenn 
Uq -(- X -j- a% X 2 -{-••• 
nicht mehr konvergent sein sollte. 
So ist beispielsweise, solange j x j < 1,