281. Integration mittels unendlicher Reihen 
141 
worausD 
dx 1 1 1 1 • 3 1 
“ T “ 2' ' T + 2 • 4 9 “ ' 
/!_J_ Jl_ . L®._i 
V 2 2 5 • 2 5 ' 2 • 4 9-2® ) 
Demnach ist f + / 
J f/i + * 4 J ]/i + ^ J yi-M 4 
da? 
1-8 1 
4 9 • 2 9 " 
= 9 H _ 1 i , Li» _L /iL _ 1 . _i_ + 1: 
Li 2 5 ' 2 • 4 9 V 2 2 5 • 2 6 ' 2 • 
6. Es ist in 275, 2. gezeigt werden, daß bei dem Integral 2 ) 
X 
dx 
/ 
|/(f— «*)(! — k*x*) 
(0<¿ 2 <1, 0^*<1), 
•)} 
(4) 
die Integration bis x = 1 erstreckt werden darf, trotzdem die Funktion 
unter dem Integralzeichen für diesen Wert unendlich wird. Zu dieser Er 
kenntnis kommt man auch direkt durch die Substitution 
x = sin <p, 
\ 
weil durch sie das Integral (4) mit der oberen Grenze x = 1 in ein eigent 
liches sich verwandelt. Allgemein führt diese Substitution zu 
1) Man hätte dieses zweite Teilintegral auch durch die Substitution 
1 
x = — 
z 
auf das erste zurückführen können; in der Tat ist 
2 1 
2) Für k = 
ersten Falle 
/ 
i 
0 und ft 5 =1 
dx _ f* dz 
yr + V ~ J y 1 + ^ 4 ’ 
1 
gehört das Integral zu den elementaren und ist im 
X 
/ * dx 
— = arcsin x, 
]/l — ÍC 2 
X 
im zweiten Falle 
1 7 1 + x . 
2 1 — :c ’ 
o 
im ersten Falle ist die obere Grenze x = 1 zulässig, im zweiten Falle nicht.