146 HI. Abschnitt. § 4. Differentiation durch Integrale definierter Funktionen 
§ 4. Differentiation durch Integrale definierter Funktionen. 
282. Das Integral als Funktion einer seiner Grenzen. 
Schon bei der Begriffsentwicklung des bestimmten Integrals ergab sich 
die Tatsache, daß ein bestimmtes Integral, das auf eine in (a, ß) endliche 
Funktion f{x) sich bezieht, seine Funktion der oberen, innerhalb (a, ß) 
variabel gedachten Grenze ist, und daß es, nach dieser Grenze differen- 
tiiert, den Wert der Funktion f{x) ergibt, falls diese an der betreffen 
den Stelle stetig ist (230). 
In der Darstellung einer Funktion durch ein Integral mit veränder 
licher oberer Grenze liegt eine wesentliche Erweiterung des Funktions 
begriffes; so sind durch 
/&(*>°); /~, /^,(«*>0); 
X 
f, 
dt 
]/(l — t 2 ) (1 — wt*) 
JV^w At ’ M^i) 
0 
neue transzendente Funktionen von x definiert — der Integrallogarith 
mus, Integralsinus, Integralkosinus, das elliptische Integral erster und 
zweiter Gattung — welche eine Darstellung mittels der elementaren Funk 
tionen in geschlossener Form nicht gestatten. 
Die Formel für die Differentiation derart definierter Funktionen 
lautet demnach * 
D x j fif) dt = fix). (1) 
Hiernach ist beispielsweise 
B 
X 
f*dt 1 
*J It = Tx ’ 
und da j- für 0 < x < 1 negativ, für x > 1 positiv ist, so ist die durch 
X 
J'jj: definierte Funktion von x — 0 bis x = 1 abnehmend, von x*=l an 
o 
wachsend, und hat an der Stelle x — 1 ihren kleinsten Wert.