283. Das Integral als Funktion eines Parameters 
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u 
Aus der Gleichung (4) folgt 
b 
®{y -h k) — $ (y) __ I*fix, y + k) — f(x, y) 
a 
besitzt fix, ij) an jeder Stelle a < x <£ b und bei jedem y aus dem Inter 
vall (y — k, y + k) einen endlichen ersten und ebenso einen endlichen 
zweiten Differentialquotienten in bezug auf y — der erste ist dann not 
wendig stetig — so kann die Taylor sehe Formel angewandt und 
f{x,y +k) = f{x,y) + Jcfyix,y) H- yf yy {x,y + Olc) (0 < 0 < 1) 
gesetzt werden. Dann aber verwandelt sich die obige Formel in 
b b 
— =j fy(?> y) ä ® + 2 j‘fvy( X >y + ek ) dX - ( 5 ) 
Je 
a 
a 
Ist das Intervall (a, b) endlich, so haben auch die Integrale der 
rechten Seite endliche und bestimmte Werte und der Grenzübergang 
lim Je = 0 gibt - 
(6) 
a 
Aber auch bei einem unendlichen (a, b) gilt diese Formel, wenn die 
& & 
a 
a 
vorhanden sind. 
Die Formel (6) spricht den folgenden Satz aus: Die durch das Inte 
b 
gral j f(x,y)dx definierte Funktion von y kann in der Weise differentiiert 
a 
werden, daß man die Differentiation an der Funktion unter dem Integral 
zeichen vollzieht. 
Die Bedingungen, unter welchen dieser Prozeß zur Ausführung ge 
bracht werden darf, den man als Differentiation unter dem Integralzeichen 
bezeichnet, sind im Laufe der Deduktion angegeben worden. 
Die Grenzen a, b galten bisher als unabhängig von y. Es ist leicht, 
auch den allgemeinsten Fall, die Differentiation einer Funktion *P(y) zu 
erledigen, welche durch das Integral 
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