150 HI. Abschnitt. § 4. Differentiation durch Integrale definierter Funktionen 
definiert ist, dessen Grenzen u, v Funktionen des Parameters y der Funk 
tion unter dem Integralzeichen sind. Das Symbol (7) ist dabei als eine 
zusammengesetzte Funktion der Variablen y (55) aufzufassen und dem 
gemäß zu behandeln; man erhält, der Reibe nach die untere, die obere 
Grenze und das y unter dem Integralzeichen ins Auge fassend und von 
den Formeln des vorigen Artikels Gebrauch machend: 
£ 
w\y) = - f(u,y) ~ + f(v,y) ~ y + j f y {x,y) dx. (8) 
284. Differentiation unter dem Integralzeichen. Wenn das 
& 
Integral J*f(x,y)dx ausgewertet, also die durch dasselbe definierte Funk 
tion #(?/) explizit dargestellt ist, so kann die Differentiation nach y in 
zweifacher Weise, an dem Integral laut Formel (6) und an der expliziten 
Darstellung, vollzogen werden; die Gleichsetzung der beiden Resultate 
liefert eine neue Integralformel. 
Auf diesem Wege können aus vorhandenen Integralformeln durch 
Differentiation neue Formeln abgeleitet werden. 
Beispiele. 1. Es ist für jedes n > — 1 
i 
o 
betrachtet man n als veränderlichen Parameter und differentiiert beider 
seits w-mal danach, so ergibt sich 
/■ 
x n (lx) m dx 
(— l) m -1-2 ... TO 
(n -f 1) : 
m +1 
Das Verfahren ist auf der linken Seite anwendbar, weil alle Inte- 
i 
grale J*x n (lx) m dx, wenn w> — 1 ist, bestimmte Bedeutung haben, indem 
o 
dann die Funktion unter dem Integralzeichen bei lim x ==» + 0 entweder 
gegen Null konvergiert, wenn n > 0 (Hl), oder unendlich groß wird 
von niedrigerer als der ersten Ordnung, wenn 0 > n > — 1.