152 III. Abschnitt. § 4. Differentiation durch Integrale definierter Funktionen 
SS 
k 
o 
Tt. 
2 
h 
0 
durch deren Summierung sich ergibt: 
7t 
Y 
.11 
cos 2 xdx 
* 1 
(i+n) 
2 x -f- b 2 sin* x) s 
16a s b ’ 
sin 2 xdx 
(a 2 + p) 
2 x -J- & 2 sin 2 x) s 
16ab 3 ' 
(a 2 cos 2 x -f- b 2 sin 3 xY 16rtö 
(±+JL + ±\ 
\a 4 ^ a 2 b 2 ' &V 
Das Verfahren kann beliebig oft wiederholt werden. 
285. Auswertung von Integralen durch Differentiation. 
Mit Hilfe der Differentiation unter dem Integralzeichen gelingt es mit 
unter, ein vorgelegtes Integral zu bestimmen. Handelt es sich beispiels 
weise um & 
®(j/) =f)'f(x,y)dx 
a 
1) 
und kann man jf tJ (x,y)dx auswerten, also Q'(y) explizit darstellen, so 
a 
ist die Bestimmung von &(y) nun auf die Integration von @'(y) zurück 
geführt; gelingt diese, so ist damit der Wert des vorgelegten Integrals 
gefunden. 
Wir benutzen dieses Verfahren, um einige wichtige Integralformeln 
zu gewinnen. 
Beispiele. 1. Das Integral 
oo 
/ 
_ ,. r emx , 
e yx äx 
x 
hat für jedes y, die Null eingeschlossen, einen bestimmten Wert und 
stellt eine auf dem ganzen Gebiete (0, -j- oo) stetige Funktion von y dar, 
die mit @(y) bezeichnet werden möge. 
Um die Richtigkeit dieser Behauptung zu erkennen, zerlege man 
nach dem in 278 erläuterten Vorgänge das Integrationsgebiet in die 
Teile (0, ri), (tt, 2jc), . . . und bezeichne die auf sie bezüglichen Integrale