285. Auswertung von Integralen durch Differentiation 
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mit a Q , a lf . . dann erscheint der Wert des Integrals als Grenzwert der 
unendlichen Reihe a 0 4- a ± + a % + • • •• 
Konstruiert man die Kurven 
sin ¡33 
und 
rj = 
e -yx 
sin x 
X ’ 
Fig. 137. 
so bilden sie Wellenzüge gleicher Wellenlänge; die Amplitude der Wellen 
der zweiten Kurve nimmt mit dem Wachsen von y immer mehr ah. In 
Fig. 137 entspricht die voll gezeichnete y, 
Wellenlinie der ersten Gleichung, die punk 
tiert gezeichnete einer Kurve der zweiten 
Gleichung: für y = 0 fällt die zweite Kurve 
mit der ersten, für y = -f- oo aber fällt sie mit der X-Achse zusammen. 
Bezeichnet man die zu y = 0, 
also zu dem Integrale dx 
ge- 
hörige Reihe mit a 0 (°) -f- a 1 (0) -f- a 2 (0) -j- • • •, 
so ist aus der Figur unmittelbar zu erkennen, daß 
\ a n\<\ a n {0) \ (0 ^y), 
und da beide Reihen alternierend sind und die zweite konvergiert (278,1.), 
so konvergiert auch die erste. 
Als Funktion von y aufgefaßt ist s n stetig; darum lassen sich y und 
y so eng aneinander wählen, daß die zugehörigen Werte von s n dem Be 
trage nach um weniger als s differieren, daß also 
K-s»l< c ; 
ferner kann man durch entsprechende Wahl von n bewirken, daß die zu 
gehörigen Reste r n und r' n unter e herabsinken; denn (76) ist n einmal 
so groß genommen, daß | j < s ist, so ist auch 
kl < I «J ^ i < I <« 
KI<KI^KI<«; 
infolgedessen ist j (s n -f r n ) — (s n + r n ) | < 3 8, 
anders geschrieben: j CP(y') — &(y) ! < 3s, 
also <&(y) in der Tat stetig. 
Die Differentiation unter dem Integralzeichen ist statthaft; denn es ist 
f y (x, y) = 
f(x,y) = e-y*^, 
e -yx f yy (x,y) = xe~ yx sm x,