‘285. Auswertung von Integralen durch Differentiation 
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4. Die Existenz und Stetigkeit der Funktion 
CO 
F(y)=J>^dx, 
0 
ebenso die Statthaftigkeit der Differentiation unter dem Integralzeichen 
ist nach der Methode des Artikels 278 wieder leicht zu erweisen. Man 
oo 
darf also schreiben F\y) = j 2e~ x ' cos 2yx dx, 
o 
00 
und. nach Formel (11) F'(y) — 2'e~ y% je~ x ~dx\ 
o 
oc 
setzt man also / e~ x ' 1 dx == J, 
o 
so ist weiter F'(y) — 2Je~ y " 
y V 
und daraus / F' (y)dy = F(y) — F(0) = 2 jJ e~ y2 dy, insbesondere 
6 o 
•CO 00 
f F'(y) dy = F(oo) - F(0) = 2Jfe~^dy = 2J\ 
0 0 
Für y > 0-ergibt sich durch die Substitution 2yx = t 
co 
F(y) =J e 4 
0 
und hieraus erkennt man ; daß 
co 
-nr N C sini 
F(ac) -J - 
dt 
t dt ~ r> 
andererseits ist 
Demnach hat man 
F( 0) = 0. 
t) t-2 Ä t V n 
~ 2 ’ J 2 ’ 
d. h. 
und 
cc 
/ 
e~ xfL dx 
oo 
F(tj) =J e~ : 
sin 2 yx 
dx 
]/n 
2 
(12) 
= ]/äJ e~ ,Ji dy. 
0 
(13)