162 Hl. Abschnitt. § 5. Integration durch Integrale definierter Funktionen 
‘fi (y) 
f d yj f( x ’ y) dx ( 5 ) 
0 Ifo(y) 
anzuschreiben; aber an die Ausführung der Integration nach y könnte 
erst geschritten werden, nachdem die Integration nach x vollzogen wäre. 
Bei dem zweifachen Integral (5) kann also von einer Umkehrung der 
Reihenfolge der Integrationen im Sinne des obigen Satzes nicht die 
Rede sein. 
Die Integration unter dem Integralzeichen ist ebenso wie die gleich 
geartete Differentiation ein Mittel, um aus vorhandenen Integralformeln 
neue abzuleiten, eventuell vorgelegte Integrale zu bestimmen. 
Beispiele. 1. Für jedes y > 0 ist 
oo 
l 
sind daher a, b zwei positive Zahlen und integriert man nach y von 
a bis b, so ergibt sich, wenn man diese Integration links unter 
dem Integralzeichen, also an der Funktion e~ xy vollzieht, wodurch 
6 
i — xy '( ß~ ax e~^ x 
| -— = erhalten wird, die neue Formel 
{ — x I x 7 
00 
dx = l 
b_ 
a 
(a > 0, b > 0). 
2. Sobald nur y > — 1 ist, gilt die Formel 
0 
durch Integration nach y auf einem Intervalle (a, &), bei dem a und 
b > — 1 sind, erhält man daraus 
i6 6 
0 a a 
1