287. Das Doppelintegral 
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a — x 0 , x 1} . .. x k _ 1} x k , . . . x p _ t , x p b 
c ~ Vo) Vl’ ' ’ ‘ Vl-l) Vv • ■ ' Vq — 11 Vq~ d 
sind die Intervalle (a, b) und (c, d) in p, bzw. q Teilintervalle zerlegt, 
deren Größe mit S t =. x k ~ x„_, (i - 1,2,.. .p) 
£ i — Vi Vi-1 0 1,2, ...g) 
bezeichnet werden soll. Indem man durch die Teilpunkte Parallelen zu 
den Achsen zieht, ergibt sich auch eine Teilung des Gebietes P in ein 
System von Rechtecken, deren eines, in der Figur durch efgh vertreten, 
die Flächenzahl ^ p = 
besitzt; nach den getroffenen Bestimmungen ist jedes A kl P positiv. 
Ist % k /r]j ein Punkt in A hl P, dessen Koordinaten also den Teil- 
intervallen (x k _ 1} x k ), (y,_ 1 , angehören, so gehört zu ihm ein Wert 
f(% k , 17,) der gegebenen Funktion. 
Auf Grund der vorgenommenen Gebietsteilung T bilden wir die 
Doppelsumme q p 
(?) 
es läßt sich dann beweisen, daß diese Doppelsumme unter den über fix, y) 
gemachten Voraussetzungen bei beständig wachsenden p und q und bei Ab 
nahme aller d k und s t gegen Null sich einer bestimmten Grenze nähert, die 
unabhängig ist von der sonstigen Art der Teilung und von der Wahl der 
Zwischeniverte | Ä , rj l . 
Der Gedankengang des Beweises ist konform dem in 226 entwickel 
ten und kann daher kürzer gefaßt werden. 
Es bezeichne m kfl die untere, M kl die obere Grenze von f(x,y) in 
,P; m die untere, M die obere Grenze der Funktion im ganzen Ge 
biet P. 
Ersetzt man in S{T) die f(£ k) rj t ) einmal durch die m kl , dann durch 
die M kl , so entstehen zwei neue Summen, die mit S U (T), S 0 (T) bezeich 
net werden mögen; und ersetzt man weiter die m kl durchwegs durch m, 
die M k l durch Al, so gehen S u (T) und S 0 (T) über in mP und MP, und 
zwischen all diesen Größen besteht die Beziehung: 
mP < SJT) < S(T) < S 0 (T) < MP, (8) 
. so daß S(T) schon zwischen zwei feste Grenzen eingeschlossen erscheint. 
(8)